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OpenAI hat das Navier-Stokes-Problem gelöst. Nur: Welches? 

OpenAI sorgt derzeit mit einer spektakulären mathematischen Behauptung für Aufsehen: Ein KI-System habe das seit Jahrzehnten offene Navier-Stokes-Problem gelöst. Die vorgelegte Arbeit konstruiert eine dreidimensionale Strömung, die in endlicher Zeit eine Singularität entwickelt, in der Geschwindigkeitskomponenten gegen unendlich streben.

Die Nachricht hat inzwischen eine Kontroverse ausgelöst: Es gibt Vorwürfe, dass einzelne Ideen oder Bestandteile des Arguments bereits aus Vorarbeiten menschlicher Mathematiker bekannt gewesen seien. Diese Frage ist zweifellos relevant für die Bewertung des tatsächlichen Beitrags der KI. In der öffentlichen Berichterstattung droht sie allerdings die eigentlich interessante Frage zu verdrängen: Was überhaupt wurde bewiesen?

Um das zu verstehen, lohnt ein Blick auf die physikalische Intuition hinter den Navier-Stokes-Gleichungen, die das Verhalten viskoser Fluide beschreiben.

Vereinfacht geht es um einen Wettbewerb zwischen Transport und innerer Reibung. Die nichtlinearen Anteile der Gleichung transportieren Impuls und können dabei verstärkend auf Turbulenzen wirken, indem Geschwindigkeit in immer kleineren Strukturen konzentriert wird und dabei in der Spitze zunimmt.

Die Viskosität wirkt dagegen glättend und dissipiert kinetische Energie.In zwei Dimensionen hat dieser Wettbewerb die entscheidende Besonderheit, dass der Mechanismus der dreidimensionalen Wirbelstreckung fehlt. Die Viskosität gewinnt auf kleinen Skalen zunehmend die Oberhand und wirkt der Bildung von Singularitäten entgegen. Aus den fundamentalen Arbeiten der russischen Mathematikerin Olga Ladyzhenskaya ist seit langem bekannt, dass im zweidimensionalen Fall keine Singularität entstehen kann. In drei Dimensionen hingegen kann ein Wirbel durch vortex stretching selbst verstärkt werden. Ob die Viskosität in der Lage ist, diese Verstärkung stets unter Kontrolle zu halten,  ist der Kern des offenen Problems.

OpenAI verfolgt einen anderen Weg. Die Navier-Stokes-Gleichung wird mit einer speziell konstruierten äußeren Kraft betrachtet. Diese Kraft bleibt glatt und beschränkt und erfüllt sogar die vom Clay Institute geforderten starken Regularitätsbedingungen, wird aber - sehr speziell - so gewählt, dass sie die gewünschte Dynamik ermöglicht und der dissipativen Wirkung der Viskosität gezielt entgegenwirkt. Die mathematische Konstruktion ist ausgesprochen clever. Eine derart präzise auf die Strömung abgestimmte äußere Kraft dürfte man allerdings kaum als typisches Naturphänomen erwarten.

Das schmälert die mathematische Leistung kaum. Denn das Clay Mathematics Institute hat das Millennium-Problem in vier präzise Alternativen A bis D gefasst. Wird eine dieser Alternativen korrekt bewiesen, ist der Preis nach den Regeln des Problems verdient. Äußere Kräfte sind dabei prinzipiell zulässig, vermutlich, weil Fluide in der Realität stets äußeren Einflüssen ausgesetzt sind, etwa der Gravitation oder der Corioliskraft. Wenn sich der von OpenAI vorgelegte Beweis als korrekt erweist, sollte die Million selbstverständlich ausgezahlt werden, möglicherweise verteilt auf verschiedene Akteure.

Die entscheidende Frage ist aber eine andere: Was sagt dieser Beweis über die Situation ohne äußere Kraft aus? Im ungezwungenen beziehungsweise homogenen Fall muss eine mögliche Singularität vollständig aus der nichtlinearen Dynamik der Strömung selbst entstehen. Genau diese Frage bleibt von der erzwungenen Konstruktion unberührt. 

Daraus ergibt sich eine bemerkenswerte Diskrepanz: OpenAI kann nach den Regeln des Clay-Problems tatsächlich eine Millennium-Aufgabe gelöst haben – und zugleich bleibt die Frage offen, die viele Mathematiker spontan mit „dem Navier-Stokes-Problem“ verbinden.